精选99句罗素悖论与第三次数学危机见解(罗素悖论 解决)

罗素悖论与第三次数学危机

1、罗素悖论公式

(1)、数的算术中有许多一元及二元运算，集合论也有许多针对集合的一元及二元运算。

(2)、这些定义，从不同的侧面深刻揭示了无理数的本质，从而建立了严格的实数理论，彻底消除了希帕索斯悖论，把极限理论建立在严格的实数理论的基础上，并进而导致***论的诞生。

(3)、***人最熟知的一个数学猜想，甚至没有之两百多年始终没有解决。在20世纪之前，这个问题没有任何进展，直到20世纪开始，人们陆续提出了一些某些程度上***近最终答案的方法，像圆法，和筛法。在上个世纪上半叶，哥德巴赫猜想几乎每年都有新进展。从9+一直到我国数学家陈景润的1+目前仅有一步之遥。

(4)、但就在第二年，***逻辑学家罗素提出了一个“悖论”却指出，作为现代数学基础的集合论存在漏洞！这一发现直接导致了第三次数学危机。

(5)、直觉主义者认为数学产生于直觉，论证只能用构造方法，他们认为自然数是数学的基础。布劳威尔提出一个著名的口号：“存在即是被构造。”他认为，人们对数学的认识不依赖于逻辑和语言经验，而是“原始直觉”(即人皆有的一种能力)，纯粹数学是“心智的数学构造自身”、是“反身的构造”，它“开始于自然数”，而不是集合论。这种数学构造之成为构造，与这种构造物的性质无关，与其本身是否***于人们的知识无关，与人们所持的哲学观点也无关。构造物应该怎样就怎样，数学判断应该是永恒的真理。

(6)、除此之外，牛顿微积分把“无穷小量看作不为零的有限量而从等式两端消去，而有时却又令无穷小量为零而忽略不计”的漏洞引发了一个这样的问题：就无穷小量在当时实际应用而言,它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言,这无疑是一个矛盾。牛顿后来也未能自圆其说。

(7)、两大数学危机的实质其实都是因为实数体系的不完善所导致的。所以魏尔斯特拉斯等人发起了“分析算术化”运动。

(8)、 第二次数学危机 ： 无穷小量 是否存在。

(9)、00***杰出数学家哥德尔于本世纪30年代提出了不完全性定理。

(10)、波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

(11)、当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。

(12)、成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。

(13)、但是它并没有从数学的整个基本结构的有效性问题上解决问题，从而从数学的基础性上对整个数学大厦进行修补，数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决，所以还存在一定的缺陷，100多年过去了，危机还在持续，数学大厦的地基什么时候才能被夯实，如今看来，还有很远的路要走。

(14)、如果没有康托的抽象集合论和数理逻辑的近代发展, 数学公理方法的形式化也不可能获得新的进展。

(15)、而牛顿在创造微积分的时候，则引发了第二次数学危机，牛顿对于导数的定义并不太严密，比如说x2的导数,先将x取一个不为0的增量Δx,由(x+Δx)^2-x^2,得到2xΔx+(Δx)^2,后再被Δx除,得到2x+Δx,最后突然令Δx=0,求得导数为2x。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设Δx是不为0的，而在论证的后一部分又被取为0。那么到底是不是0呢？

(16)、罗素悖论以及***论中其它一些悖论，深入到***论的理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。

(17)、(JackyChen为我们解释理发师悖论)

(18)、18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。

(19)、它实际上告诉人们，任何想要为数学找到绝对可靠的基础，从而彻底避免悖论的种种企图都是徒劳无益的，哥德尔定理是数理逻辑、人工智能、***论的基石，是数学史上的一个里程碑。

(20)、18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

2、罗素悖论与第三次数学危机见解

(1)、虽然芝诺并未推导出正确的结论，但他触及到数学理论几个较为本质的问题，引发了数学危机，也倒***数学家在一次次危机中不断完善数学理论、不断进步，对数学理论的完善具有重大意义.

(2)、罗素全名伯特兰·亚瑟·威廉·罗素，第三代罗素伯爵(BertrandArthurWilliamRussell,3rdEarlRussell)，又是个神仙级的存在，Wiki显示他是***哲学家、数学家和逻辑学家，并获得诺贝尔文学奖，以表彰其“西欧思想，言论自由最勇敢的君子，卓越的活力，勇气，智慧与感受性，代表了诺贝尔奖的原意和精神”……

(3)、罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。

(4)、在大约 1920 年后，他向外界发布了这些成果，这显然是对希尔伯特的挑战。

(5)、 芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。

(6)、贝克莱主教对牛顿“无穷小量”说法的质疑引发了第二次数学危机.

(7)、第二次数学危机，指发生在十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。

(8)、今天的数学园地要给你介绍数学史上一个著名的悖论——芝诺悖论.

(9)、整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。

(10)、因此有“康托尔定理”：任意集合(包括无穷集)的幂集的基数大于该任意集合的基数。

(11)、00发现和提出悖论并加以研究，对于数学基础、逻辑学和哲学都有重要意义。

(12)、比如：他关于极限的语言尚显模糊，依靠了运动、几何直观的东西；缺乏实数理论。

(13)、三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支——证明论等——的形成上。

(14)、解决集合论的悖论的其它尝试，是从逻辑上去找问题的症结，这带来了逻辑基础的全面研究。

(15)、例如，抽象概念的集合本身是抽象概念，但是，所有人的集合不是一个人；所有集合的集合本身是一个集合，但是，所有星的集合不是一个星。

(16)、一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。

(17)、1734年，***哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式(x+0)n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。　　

(18)、◆数学历史上的第二次数学危机：幽灵般的无穷小！

(19)、从这十点出发，欧几里得通过几何原本勾画出了整个欧氏几何，也是我们中学学过的几何内容。我们学的时候，看不出任何问题。

(20)、(3)陈智.芝诺悖论浅析(A).湖北函授大学学报(2014)第27卷第13期.

3、罗素悖论 解决

(1)、第二次数学危机是17世纪发现的微积分引发的，很多数学家认为微积分的基础很模糊，有缺陷，原因在于当时还不能正确认识极限的概念。

(2)、承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。

(3)、第一次数学危机的解决表明，几何量不能完全用整数表示，反之，任何数却可以有几何量表示出来。直到人们认识了无理数，认识了实数系，第一次数学危机，算是彻底解决。也是这一次危机促成了公理几何与逻辑的诞生。第二次数学危机第二次数学危机于牛顿时代，此时已经诞生了微积分，就是牛顿-莱布尼茨站在巨人的肩膀上，开创了基于微积分的数学新时代！

(4)、在探索皮亚诺公理系统相容性的过程中，另外一个超级天才又进入了数学家的视野，那就是***数学家罗素。

(5)、罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的，这就是罗素悖论。

(6)、1917 年至 1920 年，布劳威尔开始进一步发展他的直觉主义观点，包括沿着直觉主义思路发展集合论。

(7)、其实直到今天，从整体上将罗素悖论还没有解决到令人满意的程度。但这个悖论确实推动了诸多数学基础研究的发展。

(8)、   西方数学的危机并不是自身形式的改变,而是人们对数学认识的改变；是人们对数学的理解发生了改变。  

(9)、因为实数体系的建立，数学界甚至整个科学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中，科学家们普遍认为，数学的系统性和严密性已经达到，科学大厦已经基本建成，然而这话却却最终惨遭打脸。

(10)、德国数学家弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了，罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”

(11)、罗素从集合元素的三大特性中发现了康托尔集合论中的一个BUG。集合S是由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。

(12)、看来***论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。

(13)、周述岐，数学思想和数学哲学，北京：***人民大学出版社，1993

(14)、19世纪70年代，康托尔创立了集合论，庞加莱在1900年国际数学家大会上宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦…”

(15)、众所周知，集合有三要素：“确定性，无序性，互异性”，这么简洁美丽的体系即将迎来前所未有的挑战！

(16)、看不懂？没关系，其实数学发展到二十世纪不是你我这类凡夫俗子能轻易理解的。为了通俗地让大众明白，罗素用人话开始解释：某村的理发师宣布了这样一条原则：他只给不自己刮胡子的人刮胡子。当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡子。所有罗素悖论也被称之为“理发师悖论”。

(17)、在魏尔斯特拉斯“分析算术化”运动的引领下，戴德金、康托尔包括魏尔斯特拉斯都提出了自己的实数理论。

(18)、00魏尔斯特拉斯用排除无穷小量的办法来解决贝克莱悖论，而在上世纪60年代，鲁滨逊又把无穷小量请了回来，引进了超实数的概念，从而建立了非标准分析，同样也能精确地描述微积分，进而也解决了贝克莱悖论。

(19)、因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念：集合，元素，属于和概括原则，它的构成十分清楚明白。这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾，因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。数学上的第三次危机使数学界和逻辑学界都感到问题的严重性。

(20)、集合论中为什么会产生矛盾这个非常根本的问题，涉及数学逻辑推理的可信性和数学命题的真理性问题，属于数学哲学的范畴。从1900 年到1930 年的30 年间，许多数学家卷入了一场关于数学哲学基础的讨论，并逐渐形成不同的数学基础学派的争论，主要有逻辑主义、形式主义和直觉主义三个流派。1907年美籍荷兰数学家布劳威尔，反对在数学中使用排中律，提出直观主义数学。直觉主义的奠基人和代表人物是荷兰数学家布劳威尔, 从1907 年布劳威尔的博士论文《数学的基础》开始，直觉主义者逐步系统的阐述了他们的数学观和重建数学基础的主张。他的数学观包括以下几个方面：

4、罗素悖论与第三次数学危机的关系

(1)、00毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比。

(2)、悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化，即把形式逻辑当作思维方式。

(3)、然而，事隔不到两年，***著名数理逻辑学家和哲学家罗素(1872—1970)即宣布了一条惊人的消息：***论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。

(4)、第二次数学危机的解决，是著名数学家柯西引入了极限的概念，认为无穷小量和无穷大量都是变量，只不过无穷小量的极限是零而已。

(5)、最有名的就是策梅洛-弗兰克尔公理系统。在1908年，恩斯特·策梅洛提议了第一个公理化集合论——策梅洛集合论。这个公理化理论不允许构造序数；而多数“普通数学”不使用序数就被不能被开发，序数在多数集合论研究中是根本工具。此外，策梅洛的一个公理涉及“明确性”性质的概念，它的操作性意义是有歧义的。

(6)、实数的这三大派理论证明了实数系的完备性。实数的定义及其完备性的确立标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。这样长期以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除，实数体系的建立也标志着代数彻底摆脱几何的阴霾。

(7)、除此而外, 还应该看到: 希尔伯特想把全部数学都纳入于公理化方法形式化的宏伟规划中去的愿望, 已经由奥地利数学家哥德尔(G¨odel) 在1931年发表的“不完全性定理”所表明: 那是永远不能彻底实现的。

(8)、集合论中悖论的存在，明确地表示某些地方出了毛病。自从发现它们之后，人们发表了大量关于这个课题的文章，并且为解决它们作过大量的尝试。就数学而论，看来有一条容易的出路：人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。

(9)、直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。 悖　论　的　产　生　---　第　三　次　数　学　危　机

(10)、后来希尔伯特实在忍无可忍，回应道：“把排中律排除在数学之外，就像禁止拳手使用拳头。”

(11)、世界十大悖论：费米悖论、乌鸦悖论、黄油猫悖论、芝诺悖论、霍金悖论、理发师悖论、外祖母悖论、上帝悖论、说谎者悖论、伊壁鸠鲁悖论罗素理发师悖论有一位理发师在广告上声称：“将为本城所有不给自己刮胡子的人刮胡子，我也只给这些人刮胡子。”但有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，那他能不能给他自己刮胡子呢?如果他不给自己刮，他就属于“不给自己刮胡子的人”，他就要给自己刮胡子，而如果他给自己刮胡子呢?他又属于“给自己刮胡子的人”，他就不该给自己刮胡子了。

(12)、魏尔斯特拉斯“分析算术化”运动虽然一次性地解决了数学史两大危机，但是却也引发了第三次数学危机，这场数学危机持续至今，让整个数学大厦岌岌可危。

(13)、罗素悖论的出现赫然指出康托尔集合论的缺漏之处，建立在康托尔集合论之上的数学大厦轰然崩塌，引发了第三次数学危机.

(14)、有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

(15)、00贝克莱攻击“无穷小”，其目的是为宗教神学作论证，而作为“贝克莱悖论”本身，则是一个思想方法问题。

(16)、1912 年，在阿姆斯特丹大学的数学教授就职演说上，布劳威尔进一步探讨了他认为与这个“定律”有联系的问题。

(17)、罗素悖论是：集合S由一切不是自身元素的集合所组成。然后问：S是否属于S？如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。

(18)、   第一次危机是古希腊时代，由于不可公度的线段——无理数的发现与一些直觉的经验相抵触而引发的；

(19)、(6)龙叶先.“芝诺悖论”的悖谬实质透视(A).贵阳学院学报(社会科学版)(双月刊)第12卷第1期，2017：

(20)、(4)韩锐锋，冯炎，郝自军.芝诺悖论分析及极限解释(A).宁夏师范学院学报(自然科学)

5、罗素悖论与第三次数学危机小论文

(1)、演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。这种状态已知保持到笛卡儿解析几何的诞生。

(2)、承认无穷集合、承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论中一大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次数学危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

(3)、悖论在当代逻辑中获得了新的作用，它们导致了新定理的发现(通常是负面的结果，例如不可证明性和不可判定性)。逻辑的几个基本概念发展过程,之所以已经到了目前的状态，通常是得益于解决悖论的各种尝试。对于集合(set)和类(collection)的概念，标准古典逻辑的基本句法和语义概念(给定顺序的逻辑语言，可满足性，可定义性的概念)出现而言，尤其如此。

(4)、那么如果希尔伯特的这三个计划完成了，意味着什么？首先，一致性是很重要的，因为我们不能接受比如说“哥德巴赫猜想既对又不对”这样的结论，一致性无疑就保证了自相矛盾的情况不会出现。在保证数学的一致性这个前提下，我们又有数学的完备性，也就是说只要是真的都可以证明。

(5)、18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

(6)、                                   图片|吴浩芸

(7)、 二分法悖论：运动者到达目标位置前需要先走过原空间的一半，到达一半的位置前需要走过原空间的1/.....以此类推下去，运动者先要走的路无穷小，几乎不能动弹.

(8)、 漫画|李政道和杨振宁是如何获得诺贝尔奖的？

(9)、***著名数学家冯·诺伊曼说过：“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽甚至超过了纪念碑，它是一个里程碑，在可以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的纪念碑”。

(10)、 运动场悖论：三列物体A、B、C，A静止不动，B和C相向而行.相同的一段距离，B经过C中的物体数量是经过A中的两倍，推得一半时间和整体时间相等.

(11)、没人会怀疑哥德巴赫猜想猜想在数学研究上的意义，哪怕这个命题看起来如此地枯燥，甚至独一无二。在解决过程中，这个问题的许多创造性想法，其实在别的地方几乎都不会用到，等于这个问题在数学上太过高冷，不愿意跟别的猜想产生瓜葛，自然哥德巴赫猜想最后就算解决了，也只是小范围的绚烂，不会对整个数论体系有太大的影响。我们在解决这个问题的过程中收集的线索，以及创造的方法， 都将留下人类的智慧杰作上。

(12)、有了这些公理，任何几何方面的问题，我们都可以解决。这也叫做公理系统的完备性。不完备的公理系统，在希尔伯特眼里也是不完美的。同样简单地说，一个几何题，我们肯定是做得出来的，如果做不出来，那公理就不完备了。

(13)、某村有一位手艺高超的理发师，他只给村上所有不给自己刮脸的人刮脸，那么，他给不给自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸；如果他给自己刮脸，由于他只给不给自己刮脸的人刮脸，他就不应当给自己刮脸了。他应该如何呢？  现在考虑由所有那些自身不属于自己的集合作成一个集合A,那么，A是本身属于自己的集合还是本身不属于自己的集合呢？理应两者必居其中一个，但是，我们看到：若A∈A,则根据A的定义，A∉A。若A∉A，则根据A的定义，A∈A。无论在任何情况下都导致矛盾，这就是人所共知的罗素悖论。

(14)、***大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数)“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌***和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。

(15)、排中律是一个基本的逻辑定律，也是一个常用的数学技巧，指每一个数学命题要么对，要么错，没有其他可能性。

(16)、第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。19世纪后半叶，作为分析严格化的最高成就—康托尔首创的集合论成为现代数学的基础，不仅建立起来，而且被越来越多的数学家所接受、所应用。法国大数学家庞加莱骄傲地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。现在我们可以说，完全的严格性已经达到了。”此时，数学王国里春光明媚，阳光和煦，一派太平景象。2起源

(17)、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。

(18)、18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。　　

(19)、计划的第二步是证明数学是完整的。这个完整包含了两个方面，一是完备，二是一致。所有真的陈述都能被证明，这被称为数学的完备性；另一方面，不会推出自相矛盾的陈述，则被称为数学的一致性。完备性保证了我们能证明所有的真理，只要是真的就可以证明；一致性确保我们在不违背逻辑的前提下获得的结果是有意义的，不会出现一个陈述，它既是真的又是假的。