数学的由来50字左右精选146句文案

数学的由来

1、数学的由来200字左右

(1)、西方人由于首先接触到阿拉伯人使用过这些数据，便误以为是他们发明的，所以便将这些数字称为阿拉伯数字，造成了这一历史的误会。

(2)、数学起源于公元前4世纪。公元前6世纪前，数学主要是关于“数”的研究。这一时期在古埃及、巴比伦、印度与中国等地区发展起来的数学，主要是计数、初等算术与算法，几何学则可以看作是应用算术。

(3)、日月星辰不只是人类最早的路标，还是人类最早的时钟。它们能告诉人们，一年的时间、一个月的时间和一天的时间，虽然不是很准确，但比较实用。对于古代人来说，这已经足够了。

(4)、我们最开始由于数量的需要，产生了数字。后来由于要解决位置的问题，产生了欧几里得平面几何。虽然中国人在古代并不知道欧几里得，但是中国人、希腊人和其他国家的人一样都需要解决这些实际问题。与算术的产生相仿，最初的几何知识则是源于人们对于形的直觉中萌发出来的，史前人大概首先是从自然界本身提取几何形式，在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以呈现。据研究，不同地区几何的产生有不同的历史背景。古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量，古印度的几何学的起源则与宗教实践密切相关，而古代中国几何学的起源更多的与天文观测相联系，由此，我们也可以发现几何学的出现离不开我们生产生活的需要。

(5)、春秋战国时代，中国正经历着由奴隶社会到封建社会的巨大变革，学术思想十分活跃．这一时期形成的诸子百家，对科学文化影响极大．数学园地更是生机盎然，朝气勃勃．

(6)、在中国古代，数学叫作算术，又称算学，最后才改为数学．中国古代的算术是六艺之一(六艺中称为“数”)。

(7)、筹算的优点是简便、灵活，用一些小竹木棍便可进行复杂的计算．它的缺点是中间步骤不能保留，因此不便于检验．另外，过分依赖于算具，也不利于数学的符号化和抽象化．

(8)、(图中第一行为纵式，第二行为横式)算筹的摆法是纵横相间，从右到左：个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……，遇零则空位．例如2561摆成，308摆成．筹算加减法与今珠算类似，从左到右逐位相加或相减即可．筹算乘除法的步骤稍微复杂一些．二数相乘(如48×36)时，先用筹摆一数于上，一数于下，并使下数的末位和上数首位对齐(图6(1))，按从左到右的顺序用上数首位乘下数各位，把乘得的积摆在上下二数中间(图6(2))，然后将上数的首位去掉、下数向右移动一位(图6(3))，再以上数第二位乘下数各位，加入中间的乘积，并去掉上数第二位(图6(4))．直到上数各位用完，中间的数便是结果．筹算除法也分三层，上层是商；中层是被除数，叫实；下层是除数，叫法．

(9)、离开山洞，出门在外，整天面对的就是山峰、湖泊、河流、森林、荒漠等。原始人很难在一个地方长久居住下来。森林里的果实总有吃完的时候，飞禽和走兽更是得躲得远远的。如果发生大旱，他们最明智的选择就是“走为上”。他们跟自然界做的都是“一锤子买卖”。在陌生的环境里寻求生存的希望是他们经常温习的功课。

(10)、“数学”一词是来自希腊语，字面意思有学习、科学之意。它起源于人类早期的生产活动，其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度就已经出现。

(11)、西方人由于首先接触到阿拉伯人使用过这些数据，便误以为是他们发明的，所以便将这些数字称为阿拉伯数字，造成了这一历史的误会。

(12)、史前的人类就已尝试用自然的法则来衡量物质的多少、时间的长短等抽象的数量关系，如时间－日、季节和年。算术(加减乘除)也自然而然地产生了。古代的石碑亦证实了当时已有几何的知识。

(13)、随着我们现实中需要解决的数量关系越来越复杂，运算关系也变得越来越丰富，数的表现方式也变得越来越丰富。前面所说的有理数和无理数统称为实数，后来又有了虚数的概念。与整数、分数等不同的是，虚数不是在自然科学或技术方面的推动下产生的，而是产生于数学本身内部产生的抽象的数学体系，但在后来也产生了极有价值的应用。

(14)、数学(汉语拼音：shùxué；希腊语：μαθηματικ；英语：Mathematics或Maths)，源自于古希腊语的μθημα(máthēma)，其有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”。

(15)、远航和贸易的经历增长了腓尼基人的见识。他们不但运回了有价值的货物，也顺便带回了异域的奇珍异闻、科学和文化。

(16)、对甲骨文的研究表明，商朝人已经会做自然数的加、减法和简单乘法了，遗憾的是不知道他们的具体算法，因为甲骨文记录的只是运算结果，而没有运算过程．

(17)、春秋战国时代，中国正经历着由奴隶社会到封建社会的巨大变革，学术思想十分活跃．这一时期形成的诸子百家，对科学文化影响极大。数学园地更是生机盎然，朝气勃勃。

(18)、所以，按本能论的观点，我们天生具有“数觉”，随后以此作为“种子”，经过几千年文明的发扬光大，才有今天这么庞大复杂的数学体系。

(19)、我们的初心是希望以“爱”的种子激发孩子对生活和世界的热爱，从而对数学产生兴趣，爱上数学！

(20)、不同的民族都需要数字，需用数字来表达，在现实生活中常会涉及数字之间的数量关系。比如军营里面现有一个营的兵力，然后又有人来参军，又来了一个营零一个连的兵力，那么我们一共有多少兵力？这样的数量关系怎么描述呢？再比如现在军营里面有三个营的兵力，需要分出去两个营给别人，怎么分？于是现实生活中就产生了加法和减法。涉及要把一些东西合到一起测量总数的时候就产生了加法，涉及要从一个总的数字当中分一些东西出去，就产生了减法。在人类最早的文字记载中，加减运算是最早掌握的两种数学运算。我国古代比较注重利用工具来做计算，用算筹或者算盘来做加减法，记录时用的是文字表达。在现实当中因为有需求，才产生了各种各样的运算。从根本上说，人类一般是不干傻事的，总是产生对人类有用的东西。

2、数学的由来50字左右

(1)、《易经》是中国最古老的书籍之书中通过阴阳卦爻预言吉凶．“--”是阳爻，“--”是阴爻，合称“两仪”．每次取两个，按不同顺序排列，生成“四象”；每次取三个，生成八卦(图5)；每次取六个，则生成六十四卦．四象、人卦与六十四卦的排列，相当于组合数学中的有重排列：从n种元素中每次取r个，共有nr种排列法．例如，在两种卦爻中每次取3个，共有23＝8种排列，这就是八卦．

(2)、想想古希腊数学家欧几里德编纂的《几何原本》，它搜集了古希腊所有的数学知识，并编纂了一条条几何定律。欧几里德把他的工作建立在一系列公理之上。这些公理既不能证明，也不能证伪，我们只能说它们是“被发明的”。其中最著名的一条就是“平行线公理”：两条平行线永不相交。随着时间的推移，从这些公理中衍生出很多的规则和关系，并被后人证明为定理。从某种意义上说，他们是“发现”了欧几里德几何学的景观。

(3)、同样地，人类从远古走来，最开始是猿，从猿进化到人。因此，人在生存发展的过程中，必然要产生基本的数量需求和位置需求。比如，人生存好要吃肉，吃肉就要捕猎，可捕猎是有风险，当然谁也不愿意受伤。那么，就要思考这一个月需要吃几头猪，并且不用冒更大的风险捕猎更多的猪。而这对应着基本的数量需求。另外，我们要有住的地方，不能直接挨着狮群住，也不能离水源太远，还要考虑地势高低，不能一下雨，住的地方就成了水坑。这就对应着基本的位置需求。这就产生了基本的数量需求和位置需求。

(4)、                           

(5)、数学逻辑的早期定义是本杰明·皮尔士(BenjaminPeirce)的“得出必要结论的科学”(1870)。在PrincipiaMathematica，BertrandRussell和AlfredNorthWhitehead提出了被称为逻辑主义的哲学程序，并试图证明所有的数学概念，陈述和原则都可以用符号逻辑来定义和证明。数学的逻辑学定义是罗素的“所有数学是符号逻辑”(1903)。

(6)、陕西姜寨出土的陶器(约6000年前)上也有类似的数字：很明显，这些数字都属十进制系统．

(7)、中国最早的数字出现于原始陶器，可称之为陶文．例如，半坡出土的陶器上就有如下数字符号：

(8)、这个结果表明，教育和职业所养成的习惯，已经深深改变了数学家们思考数学时的思维方式。文化的影响之巨，由此可见一斑。

(9)、还有研究显示，人类本能上具有在空间上通过虚构一条“数字线”，来表示数的倾向。比如说，我报给你一串数，请你在纸上记下。尽管我并没有吩咐你怎么去记，但你还是会按小的在左，大的在右的方式写下这些数，哪怕你是个左撇子也不例外。这是因为你在记数字时，会在纸面上不自觉地虚构一条“数字线”；在这条线上，数值从左到右要按从小到大的顺序排列。这是一种本能。

(10)、公元500年前后，随着经济、文化以及佛教的兴起和发展，印度次大陆西北部的旁遮普地区的数学一直处于领先地位，起源于印度。

(11)、公元500年前后，随着经济、文化以及佛教的兴起和发展，印度次大陆西北部的旁遮普地区的数学一直处于领先地位，起源于印度。

(12)、在中国古代，数学叫作算术，又称算学，最后才改为数学．中国古代的算术是六艺之一(六艺中称为“数”)。

(13)、数学自身取得的辉煌成就以及它在现实中无所不在的应用，让一些人产生一种“狂妄”的看法：数学是一切，一切皆数学；宇宙是一个数学结构，它只有数学性质。这种看法与古希腊毕达哥拉斯学派“一切皆数，数是万物的本源”的神秘思想遥相呼应。

(14)、大自然是一个复杂多变、险象环生的处所，栖息地的变化、掠食动物的袭击、食物的匮乏……一个有机体的生存取决于它感知周围环境的能力。但不管是野牛估量狮群的数量和块头，以便做出战斗/逃跑的决定；还是椋鸟在空中时刻与邻伴维持适当的距离，以便保持队形；或者羊群循着水草丰茂的路线觅食……所有这一切活动，按伦敦大学神经学家卡尔·菲力斯顿的说法，都意味着在做数学。

(15)、不同的民族有不同的描述方式，别看这个描述方式看起来很简单，这里的问题比较复杂。我们想想为什么数学在西方比较发达？比如说像古希腊，罗马，后来的法国、英国、德国等等，为什么在这些国家，在西方率先发展起来了？为什么中国古代曾经有灿烂辉煌的数学，为什么近代没有发展起来呢？古罗马发展也受限制。一个很重要的原因是我们的数学表达形式太难了，或者用另一种说法叫没有及时符号化。用一个简单的例子，比如一千五百二十一加一千五百写成“1521+1525”，列竖式运算，非常方便，但是按照我们的文字表达，加起来很困难，其他运算也是如此。

(16)、但是，不管我们从哪一套公理出发，数学可能不像我们所以为的那样是一套完整的思想体系。对于这一点，我们要归功于奥地利逻辑学家哥德尔的不完备性定理所提供的洞见。哥德尔证明，在任何形式的公理和定理体系里，有一些既不能证明对，也不能证明错的陈述。换句话说，有些问题数学可以问，但它永远无法回答。像欧几里得几何中的“平行线永不相交”就是一例，欧几里得几何体系自身无法提供证明。我们只能说：“暂且假设它是对的，来看看会推出什么结果……”

(17)、正是我们这种与世界打交道的方式，决定了我们的感官存在这样那样不尽人意的偏差。

(18)、柏拉图关心数学的各个方面，在他那充满奇妙幻想的神话故事《费德洛斯篇》中，他说：故事发生在古埃及的洛克拉丁(区域)，在那里住着一位老神仙，他的名字叫赛斯(Ｔｈｅｕｔｈ)，对于赛斯来说，朱鹭是神鸟，他在朱鹭的帮助下发明了数，计算、几何学和天文学，还有棋类游戏等。柏拉图常常充满了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亚里士多德最后终于用完全概念化的语言谈论数学了，即谈论统一的、有着自己发展目的的数学。在他的《形而上学》(Ｍｅｔａ－ｐｈｙｓｉｃｓ)第１卷第１章中，亚里士多德说：数学科学或数学艺术源于古埃及，因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。亚里士多德所说的是否是事实还值得怀疑，但这并不影响亚里士多德聪慧和敏锐的观察力。

(19)、大约4000年前夏朝的建立，标志着中国进入了奴隶社会。随着社会的发展，商代出现了比较成熟的文字---甲骨文，西周则演变为金文，即刻在青铜器上的铭文。

(20)、很多数学基本概念的定义确定了数学未来发展的形式。

3、数学的由来简介

(1)、在亚里士多德的书中，提到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论：１．存在为知识服务的知识，纯数学就是一个最佳的例子：２．知识的发展不是由于消费者购物和奢华的需要而产生的。亚里士多德这种“天真”的观点也许会遭到反对；但却驳不倒它，因为没有更令人信服的观点。就整体来说，古希腊人企图创造两种“科学”的方法论，一种是实体论，而另一种是他们的数学。亚里士多德的逻辑方法大约是介于二者之间的，而亚里士多德自己认为，在一般的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法。古希腊的实体论带有明显的巴门尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响，实体论的特征仅在以后的斯多葛派和其它希腊作品的翻译中才表现出来。数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论，但不知什么原因，数学的名字本身并不如“存在”和“理性”那样响亮和受到肯定。然而，数学名称的产生和出现，却反映了古希腊人某些富于创造的特性。下面我们将说明数学这一名词的来源。“数学”一词是来自希腊语，它意味着某种“已学会或被理解的东西”或“已获得的知识”，甚至意味着“可获的东西”，　“可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”，数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。甚至伟大的辞典编辑人利特雷(Ｅ．Ｌｉｔｔｒｅ　也是当时杰出的古典学者)，在他编辑的法语字典(１８７７年)中也收入了“数学”一词。牛津英语字典没有参照梵文。公元１０世纪的拜占庭希腊字典“Ｓｕｉｄａｓ”中，引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的词条，但没有直接列出“数学”一词。　　“数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远，而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌，也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注意。首先，亚里士多德提出，　“数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法，但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次在爱奥尼亚人中，只有泰勒斯(公元前６４０－－５４６年)在“纯”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧根尼拉尔修(Ｄｉｏｇｅｎｅｓ　Ｌａｅｒｔｉｕｓ)简短提到外，这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源，即来源于普罗克洛斯(Ｐｒｏｃｌｕｓ)对欧几里得的评注：但这一可信性不是来源于亚里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；也不是来源于早期的希罗多德，尽管他知道塞利斯是一个政治、军事战术方面的“爱好者”，甚至还能预报日蚀。

(2)、就纵度而言，在数学各自领域上的探索亦越发深入。

(3)、小数又是如何产生的呢？一些实用的计量单位多采用十进制计数法，由此也就产生了十进分数，也就是小数。小数的产生较负数晚，第一个将这一概念提出的是魏晋时代的刘徽，他在计算圆周率的过程中，用到了尺、寸、分、厘、毫、秒、忽7个长度计量单位，对于忽以下的更小单位则不再命名，统称为“微数”。在早期小数可视为是分数的一种变形的表达形式。有的是一种准确的表达，有的则是一种近似的表达。比如，当我们描述三分之一的时候，三分之一是一个准确的概念，而0.333333……不管后面有多少个都是不准确的。但不管怎么说，我们现实生活中有了小数也行。比如说，分了一块饼的三分之这个说法很准确；说分了0.3333块饼，虽然有点近似，但是也能理解它的意思。因此小数也有小数的意义。于是我们的加减乘除运算，也可以把分数和小数加进去。

(4)、亚里士多德把数学定义为“数量科学”，这个定义直到18世纪。从19世纪开始，数学研究越来越严格，开始涉及与数量和量度无明确关系的群论和投影几何等抽象主题，数学家和哲学家开始提出各种新的定义。这些定义中的一些强调了大量数学的演绎性质，一些强调了它的抽象性，一些强调数学中的某些话题。今天，即使在专业人士中，对数学的定义也没有达成共识。数学是否是艺术或科学，甚至没有一致意见。(8)许多专业数学家对数学的定义不感兴趣，或者认为它是不可定义的。有些只是说，“数学是数学家做的。”

(5)、许多如数、函数、几何等的数学对象反应出了定义在其中连续运算或关系的内部结构．数学就研究这些结构的性质，例如：数论研究整数在算数运算下如何表示．此外，不同结构却有着相似的性质的事情时常发生，这使得通过进一步的抽象，然后通过对一类结构用公理描述他们的状态变得可能，需要研究的就是在所有的结构里找出满足这些公理的结构。

(6)、在科技引领创新发展的今天，原创科普已经成为传承文化、沟通世界的重要载体。丛书将理性思维和文学艺术完美融合，用极其通俗易读的语言把读者带入科学的世界，是一套难得的原创科普佳作。我们相信并且期待，未来的科学大师即将诞生于年轻一代读者中！

(7)、——著名科学教育专家、中央教育科学研究院研究员

(8)、2017年去世的伊朗数学家玛丽亚姆·米尔扎克哈尼，是第一位获得数学领域最高奖——菲尔兹奖的女性。她形容研究数学“就像是一个人迷失在丛林中，试图用你所学到的一切，去找到一条出路”。

(9)、其他地区亦发现不同的史前记数系统，如符木或于印加帝国内用来储存数据的奇普。

(10)、六十循环的“天干地支”记数法，是商代数学的又一个成就．这种方法主要用于历法，可称干支纪年法．天干有10个，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干与地支相配，共得60个不同单位---以甲子开始，以癸亥告终．然后又是甲子，如此循环不断．中国农历至今还使用这种方法．

(11)、公元7世纪，团结在伊斯兰教下的阿拉伯人征服了周围的民族，建立了东起印度、西经非洲到西班牙的阿拉伯帝国。后来，这个伊斯兰帝国分裂成东、西两个国家。由于这两个国家的各代君主都奖励文化和艺术，所以两国的首都非常繁荣，特别繁荣的是东都——巴格达。

(12)、直觉主义定义，从数学家L。E。J。Brouwer，识别具有某些精神现象的数学。直觉主义定义的一个例子是“数学是一个接着一个进行构造的心理活动”。直观主义的特点是它拒绝根据其他定义认为有效的一些数学思想。特别是，虽然其他数学哲学允许可以被证明存在的对象，即使它们不能被构造，但直觉主义只允许可以实际构建的数学对象。

(13)、值得注意的是，人们在商代甲骨文和西周金文的基础上，逐渐懂得把字写在竹片(或木片)上，用绳子穿成册，这就是早期的书．写上字的竹片称为简，或竹简．春秋战国的大批数学成果，便是通过竹简流传下来的．

(14)、先说数字的起源。这得包括“基数”和“序数”两个方面，基数就是单纯的1,2,3,序数则有顺序在里面。对基数来说，想必是来源于对周围环境中离散数量的认识，天天都见到如两只鸟，两只鞋，两只手，慢慢滴，人们从这些实例抽象出了“2”这个概念，其他数字也是如此。一开始人们需要表达“数量”的信息，一双手就可以表示十以内的数量，加上两只脚，20以内的数都没问题。但是20以上的就没有办法了，这时候用石头堆或者麦秆数来表示最好不过。可是慢慢地就发现，石头麦秆这些都不能保存信息，他们的寿命太短了，于是人们又开始利用记号，这样保存的信息就比较长久了。我估计一开始的方法就是有多少数量就画多少条横线，他们将这些刻痕记于动物骨或者泥板上，在捷克斯洛伐克，人们就找到了一块来自一匹幼狼身上的骨头，上面深深刻下了55道刻痕。这些刻痕被排列成两串，第一串30道，第二串25道，每一串刻痕之内按照5个一组的方式排列。我推测，因为5是一双手手指头的数目，5个成一串刚好方便以后重复使用。

(15)、有解而引入了虚数i。但在历史中，复数是在一些数学家求解三次方程的过程中，发现结果中会出现对负数的开方，于是这个时候提出了虚数。可以说，复数正是在代数方程的求解中产生的。在古希腊时期，丢番图的《算数》中就已经记载了一元二次方程在时的情形，但当时丢番图没有考虑这种方程是否有解。直到16世纪，四次方程的求解中才出现了复数。意大利学者卡尔丹在塔塔利亚的基础上推出了一般三次方程的解法。但在求解的过程中，出现了不可约的情形，这时负数会被开方。然而这是当时的欧洲人无法接受的，因为负数的出现本身就难以接受了(欧洲人为什么难以接受负数，这也是一个与社会学文化学相关的有意思的问题)，更别说给负数开方。之后，又有意大利数学家邦贝利引入了复数，但他本人觉得复数是神秘而无用的东西。法国数学家笛卡尔也将困惑数学家的“虚无缥缈”的东西命名为“虚数”。

(16)、其在英语的复数形式，及在法语中的复数形式+es成mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数(Mathematica)，由西塞罗译自希腊文复数ταμαθηματικ(tamathēmatiká)。

(17)、她虽然只活了40岁，但应该说是一位幸运儿，比大多数人在“数学丛林”里都走得深，最后还摘取了数学上的桂冠。

(18)、传到欧洲后，欧洲人非常喜爱这套方便适用的记数符号，尽管后来人们知道了事情的真相，但由于习惯了，就一直没有改正过来。

(19)、ISBN978-7-03-053743-0

(20)、让我们自豪的是，尽管人类和其他动物的感官都有着同样的偏差，但人类已经发展出识别和纠正偏差的能力。最明显的是，我们发明了数：这是一种符号系统，它让我们立即判断出(21与22)和(1与2)差距是一样的。

4、数学的由来20字

(1)、德国数学家莱布尼茨(G．W．Leibniz，1646---1716)发明二进制后不久，见到了传教士白晋(J．Bouvet，1656---1730)从中国寄去的八卦．莱布尼茨认为，八卦中蕴含着二进制思想，因此惊叹不已．实际上，若把“--”和“--”两种卦爻用1和0代替，八卦就可表示为

(2)、据战国时成书的《庄子》记载，惠施曾提出“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”的观点．其中“大一”、“小一”可理解为无穷大，无穷小．这段话的意思是：大到没有外部，称为无穷大；小到没有内部，称为无穷小．书中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的著名命题，可以看作是对“小一”的发挥．一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下那一半的一半，如此不断地取下去，

(3)、长期以来，一种观点认为：我们天生就有一种对“数”的意识，就像我们天生就能意识到色彩一样。1997年，法国心理学家德阿纳提出一个假说，认为进化赋予人类和其他动物一种“数觉”，即立即觉察一堆物体数量的本能。譬如说，三颗红色的珠子会产生数“3”的感觉，正如它们能产生“红”的感觉。

(4)、它的特点是从“1”到“9”每个数都有专字，现代数字就是由这一组数字演化而来。“0”这个数字是到了笈多王朝时期才出现，“0”由小圆点演化而来。

(5)、产生了这些东西之后就希望有一种描述，于是数学从这个时候开始产生，但是非常的粗浅。比如说，一个原始社会的一个群落或者一个山洞，这个山洞里面我们到底有多少个人、我们打死了几只猴子、几只野猪等等这些东西都需要计量。再比如，我们还需要研究位置关系：我们所居住的山洞跟某一个河流构成了怎样的位置关系，跟某一个岔路口构成怎样的位置关系，当时这些问题都需要前人来解决。同时，我们还要解决场所的大小问题。比如说，我们这个山洞它究竟有多大，它究竟能够容纳多少人等等，这都是问题。这些问题发生了，于是人类开始产生最基本的东西。比如说，最开始需要计量，于是产生了4等自然数。

(6)、所以我推测，数字的起源和发展更多的是由于要用到它。而在对几何的起源上，自古以来许多科学家大致认为有两种可能，这也分别是古希腊时期的希罗多德和亚里士多德持有的两种相反观点。希罗多德认为，几何学起源于埃及，因为埃及人必须在每年的河流泛滥后重新测量土地，这种实际需要导致了几何的产生‘亚里士多德认为，由于埃及人存在着一个像神职人员一样的有闲阶级，才激励了几何学的探索研究。这两种是相反的观点，一方面可以认为几何起源于实际需要，一方面认为它起源于闲暇的宗教仪式。也有可能两者兼有吧！但我们能明确一点，不管是希罗多德还是亚里士多德，他们都低估了几何学产生的年代。对于几何学中的测量早在石器时代就已经有了，但也许正是“闲暇和宗教”与“实际需要”促使了几何学的系统发展。

(7)、算筹在中国数学史上占有非常重要的地位，在长达两千年的时间里，算筹一直是中国的主要计算工具，直到元明时代才逐渐被珠算所代替．

(8)、发现它和复平面上复变函数的性性质非常相似。也就是，对于复平面上这样一个区域，中间被部分隔断，在被隔断处两侧，虽然距离非常小，但是函数在这两端的性质相差非常大。

(9)、组合数学虽是现代数学的分支，它的思想却可以追溯到遥远的古代．春秋时期成书的《易经》便含有组合数学的萌芽．

(10)、在数的范围在不断扩展的同时，计算领域内也产生了很多新的运算。在计算体积的过程中产生了乘方的概念，如一个正方形加上一个高变成正方体，相同的量三次相乘，就构成了三次方。产生了乘方，自然，也就要产生与之相反的开方的概念。

(11)、可惜的是，随着墨家的衰落，墨家数学理论在形成体系之前便夭折了．

(12)、此外，即使教幼儿数数的动作，也不能立即传达数的意义，必须通过“量”的比较，他们才能掌握“数”的概念。这就怪不得幼儿园的老师教孩子数数，或者做加减运算，要辅以小木棍、小球之类的道具。

(13)、面积表示着平方的概念，如果是一块面积。平方就是二维了，就涉及到以后的坐标系，并直接暗含着直角坐标系。如果，一开始面积表示不是平方，而是现在讲的菱形，那么，菱形坐标系该怎么表示？

(14)、现时数学已包括多个分支。创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派则认为：数学，至少纯数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。他们认为，数学有三种基本的母结构：代数结构(群，环，域，格……)、序结构(偏序，全序……)、拓扑结构(邻域，极限，连通性，维数……)。

(15)、  它在我们高高的身体里，也可能就在老师漂亮的花裙子上；

(16)、后来人们又逐渐发现复数的理论体系在解决很多现实问题是很好的工具。在流体力学中，比如对于一条河流，中间有一根木头挡住了一部分水流，那么对于木头两侧的水流，虽然距离很近，甚至可以忽略，但是两边水流的速率、方向却相差非常大，必须要绕过木头才能建立起相应的关系。把这个现象用一个模型来表达(如下图)，

(17)、比如，蜜蜂建造的蜂巢，是严格的六角柱形体。它的一端是六角形开口，另一端则是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成。这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是109°28′，所有的锐角都是70°32′。后来法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林计算得知：如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度。

(18)、其演进可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。

(19)、一些动物个体被证明表现出非凡的数觉天赋。亚历克斯，一只经过训练的非洲灰鹦鹉，在80%的时间里能正确识别出2到6个物体的集合。Ai，日本灵长类动物学家训练出来的一只黑猩猩，能做同样的事情。

(20)、在甲骨文中，最大的数是三万，写作．人们能表示三万以内的任何自然数(也许更多)，例如156写作．甲骨文中的数字，大部分联系着实物，如五十犬，三十羊．也有一些甲骨上的数字是独立出现的，人们曾在一片龟甲上发现了10以内的全部自然数，没有和实物连在一起，说明商代已经有了抽象的自然数概念．

5、数学的由来

(1)、有人问为什么三加二等实际上这个问题没有什么好问为什么的，这些关系就是确定的。如果探讨缘由的话，这不是纯数学的推理能解释的，而是一个哲学、历史、社会学的问题。就是因为算术的结论是在人类几百年、几千年的社会实践过程中积累、归纳、总结下来的，它们逐渐在人们意识中固定了下来，在符号的语言中固定了下来，以及在实际的应用中固定了下来。比如三个和两个放在一块就是五个，两个和三个放在一块也是五个(这最终还总结出了加法结合律)，任何时候、任何地方都是这样。当然现实中也有时候不是这样，比如三升水和两升酒精加在一起就不是五升，但是，数学的模型、数学的抽象舍弃了这些特殊的情况而抓一般的情况。当然，在现实应用中是需要认清前提的，否则会闹出笑话。

(2)、“科学的故事丛书”跨越了不同文化领域和不同历史时空，在自然、科学与文学之间架起了一座桥梁，为读者展现了一个五彩缤纷的世界，能有效地与读者进行心灵的沟通，对于科学爱好者欣赏文学、文学爱好者感悟科学都有很大的感染力，是奉献给读者的精神大餐。

(3)、在现存的资料中，希罗多德(Ｈｅｒｏｄｏｔｕｓ，公元前４８４－－４２５年)是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的准确意思很敏感。作为一个人类学家和一个社会历史学家，希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的，人们经常需要重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用，以及将一天分成12个时辰。希罗多德的这一发现，受到了肯定和赞扬。认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。

(4)、因此，人们开始越来越相信复数的产生在数学中是有着非常重要的意义的。

(5)、数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献。

(6)、其实呢，最开始借助的都是长乘宽。用长和宽相乘，用方的东西，不管是正方的，还是长方的，用一个方的东西定义了面积。但是以后即使不是方的，我也借助于方的来表达。所以，很多东西不是从来就是这样的。如果我们善于从哲学角度想问题的话，你将会发现，在这里不自觉的有这样一个坐标关系。借助于一个直角坐标关系。那就是说，说明这个角是直角。你这么定义面积。大家再想想，人类还可以换多种方式定义面积。比如说，现在的坐标轴都是这样的一个角度的坐标轴，不是90°，而是60°，60°的坐标的话，我仍然可以建立坐标，那么我仍然可以用60°的坐标这种关系建立面积的概念。如果人类最开始定义面积，用这种60°角(的坐标)来定义面积，那么你们可以想象，我们今天的数学就不是今天这个样子。所以数学它最后形成的形式，跟你最开始的定义方式是密切相连的。我们到了大学，让我们做这样一个不定积分，(sinx/x)的不定积分，觉得这个东西太难了。那么这个不定积分原函数我们在数学上怎么回答？原函数是存在的，但是我们不知道他如何表达，因此我们就说这个不定积分现在没有。事实上，我们后来真的学了积分之后，我们发现要描述它非常容易。为什么呢？因为我们只要在一个很小的范围内，我们把sinx进行泰勒展开。发现它就是这么一个关系，你只要把x跟它每一个除一下，它就变成了。我们发现把这个原函数找到，并且算一下计算就比较简单。我们只要找到了它，对它进行积分，就是一个幂函数积分，积出来还是个级数，非常简单。一个用积分表达，计算起来也并不复杂的东西，为什么我们通常表述就那么难呢？这就说明我们今天的数学是沿着一特定的思路来定义下来的，来演绎下来的。假如说现在我们定义面积，我们是按60°定义或者按30°来定义而不是按90°来定义的话，这个时候，你重新算sinx/x这个积分的时候，可能一下子积出来，这是个非常简单的东西。而现在我们非常简单的东西，那个时候就有可能变得非常复杂的东西。我们有些从事数学的人，在一些具体问题上能够取得一定的成就，但是可以说，仍然处在一个“小家”的水平上，不能称之为大家。问题就在于他们并不能够用开阔的思想来思考数学，他们不知道数学为什么是这个形式，他们不知道数学未来将会是什么形式，他们不知道数学未来将怎样发生革命。像牛顿、莱布尼兹、庞加莱、克莱因等大数学家，他们都是有很深的数学史、数学哲学功底的。

(7)、人们在生产生活实践中，为了表示相反意义的量，如钱粮亏损、材料欠缺、负债等情况，将其用数学符号来表达，就产生了负数。在中国公元一世纪的《九章算术》中，就最早提出了正负数加减法的法则。整数、分数、小数，加上负数，就构成了我们今天所说的有理数。

(8)、具体的，有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：由逻辑、集合论(数学基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、以较近代的对于不确定性的研究(混沌、模糊数学)。

(9)、当人们对数的认识变得越来越明确时，人们觉得有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是就产生了计数。最开始的是采用手指计数，一只手五根指头表示5以内的事物的集合，两只手就表示10以内的事物的集合。正如亚里士多德所言，我们今天十进制的广泛采用就源于人生来就有10根手指这样的解剖学结果。随着人们对于数的需求越来越大，10以内的数已经不敷运用时，于是我们就出现了石子计数。但随之而又出现了一个很大的不便，计数的石子很难长久保存信息，容易出现丢失。所以随着发展又出现结绳计数和刻痕计数这两种计数方式，这打开了我们计数发展的新局面，是一个跨越式的前进。

(10)、既然机器人是通过“建模”与外部世界互动的，那么一个合理的推测是：生物在某种程度上也是通过“建模”跟世界打交道的。

(11)、这暗示，今天我们大多数人所拥有的精确的数量感，是文明发展到一定度的产物，当诸如农业和贸易等需要时，它才会出现。

(12)、在这种情况下，我们说数学是普遍真理，或许还为时尚早。因为真理嘛，对的就是对的，不能说“假设它是对的”(比如上帝存在就说存在，不存在就说不存在，不能说“假设他存在”)。再者，人类迄今所建立的数学体系，也许不过是“数学丛林”的一个小角落，谁敢保证它就代表了宇宙整体呢？

(13)、当人类在心里将那一连串数字一一记下时，计算就开始孕育了。另外，人类对图形的识别也日益精准，其中人类最熟悉也最偏爱的图形就是圆。

(14)、第一个被抽象化的概念大概是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。

(15)、数学的源头在数、量和形之中。现代对动物认知的研究表明，这并不是人类特有的概念。这些概念是狩猎者-采集者社会中日常生活的一部分。在一些语言的词汇中，保留了“一”、“二”、“很多”的区别，但并没有大于二的数，这个事实支持了“数”的概念是随时间而演化的说法。

(16)、腓尼基地域面积虽然不大，但是其历史和文化却可以追溯到公元前4000年。腓尼基在地中海东岸、黎巴嫩山西侧，也就是今天的叙利亚沿海一带。大约在公元前1500年，腓尼基的海外贸易蓬勃发展起来。许多腓尼基人驾驶着自己的小船穿梭在地中海，在沿途用自己的物品交换其他人的物品，海上贸易的发展成就了腓尼基人航海家和商人这两种身份。

(17)、西方人由于首先接触到阿拉伯人使用过这些数据，便误以为是他们发明的，所以便将这些数字称为阿拉伯数字，造成了这一历史的误会。

(18)、《墨经》中讨论的几何概念可以看作数学理论研究在中国的最初尝试．《墨经》是以墨翟(约公元前490---前405)为首的墨家学派的著作，包括光学、力学、逻辑学、几何学等各方面问题．它试图把形式逻辑用于几何研究，这是该书的显著特色．在这一点上，它同欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)《几何原本》相似，一些几何定义也与《原本》中的定义等价．下面略举几例：

(19)、数概念的产生是人类认识史上的一次飞跃，它标志着数学的起源．从出土文物可以看到，在中国，发生这种飞跃的时间不晚于7000年前．例如，这一时期河姆渡(今浙江余姚境内)遗址中的骨耜都有两个孔，许多陶器有三足，一些陶钵底上刻着四叶纹，这是形成“四”等数的概念的依据．约6000年前的西安半坡遗址中，有的陶器上有整齐排列的点子，数目由一到九(图1)，这说明人们已认识了“九”．

(20)、关于人类是否天生具有“数觉”的争论，让持肯定意见的人经常转向从动物方面寻求支持。如果我们的远亲能表现出一定的数学能力，那这就意味着我们自己对数的感觉也必定先于文化的发展。

(1)、举个例子。当一头野牛注意到一头狮子在逼近时，它就会本能地调动一个叫“逃跑/战斗”的决策机制，根据自己对狮子块头、距离远近以及对自己力量的估计，决定是逃跑还是战斗。这个决策机制，从功能上说，可看作是一个数学模型，输入“狮子块头”“距离”“自己的力量”等参数，输出“逃跑”或“战斗”的结果。任何一项参数改变，都可能导致输出结果不同。

(2)、但是几千年后，有数学家另起炉灶，决定采用新公理去发现新的几何王国。这些新公理与欧几里得的公理是矛盾的。例如，因德国数学家黎曼而得名的黎曼几何，明确依赖于“平行线可以相交”这一思想。这个非正统的出发点把我们引向了一个广阔的数学世界，爱因斯坦用其来阐述他的广义相对论。

(3)、文化对数的认知影响之大，超乎我们的想象。以巴布亚新几内亚的Yupno人为例。他们的语言虽然并不原始，却连表示“一个比另一个大或小”的说法都没有。Yupno并不是唯一拥有不强调数的语言的人。一项对189种澳大利亚原住民语言的研究，发现其中四分之三的语言中没有表示大于3或4的数的词汇。

(4)、后来，随着在世界各地的普遍传播，大家都都认同了“阿拉伯数字”这个说法，使世界上很多地方的人都误认为是阿拉伯人发明的数字，实际上是阿拉伯人最早开始广泛使用数字。

(5)、数学可能就在我们喜欢的积木玩具中，也可能在我们美味的曲奇饼干里；

(6)、在中国，《周髀算经》是第一部记载勾股定理的书．该书云：“求邪(斜)至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，

(7)、现在不是有很多“建模”比赛吗？为一个复杂过程，建立一个相对简单的数学模型，然后输入参数，看看不同情况下的运行结果。那么，菲力斯顿的话其实意思就是：任何形式的生命都需要通过对其生存的环境进行“建模”，才能发挥作用。

(8)、(3)“中，同长也”---到线段两端的距离相同的点叫中(点)．

(9)、代数学可以说是最为人们广泛接受的“数学”。可以说每一个人从小时候开始学数数起，最先接触到的数学就是代数学。而数学作为一个研究“数”的学科，代数学也是数学最重要的组成部分之一。几何学则是最早开始被人们研究的数学分支。

(10)、目今，人类已经建立了一座巨大的数学金字塔。在过去5千年左右的时间里，数学已经扩张到更加抽象的领域，似乎进一步脱离了周围的现实世界和普通人的理解范围。

(11)、传到欧洲后，欧洲人非常喜爱这套方便适用的记数符号，尽管后来人们知道了事情的真相，但由于习惯了，就一直没有改正过来。

(12)、对于原始人来说，除了1和2这样的数字，更多的数可能难以理解，于是就用“一群”或“一堆”来形容。后来，他们学会了扳着自己的手指头数数。数着数着，他们突然发现手指是可以计数的啊。

(13)、但大家想想，在古代，那个时候还没有面积的概念，但是人们还要描述事物的大小，你们说怎么办？我们现在就模仿一下古人。假如说我们现在没有面积的概念，也没有尺寸的概念，要描述一下这块石板有多大怎么告诉我？最开始肯定用手臂比划一下。但如果在遇到两个情况就不好办了：一个情况是，这个石板远远比我的两个手臂宽，怎么办？长和宽都要超过手臂能比划的范围，怎么办？另一种情况是你在五里以外，发现这么一块石板，你又不能见我的面，要通过一个小孩，来转达我，怎么办？你可以想象很多种情况。在这个时候就遇到困难。不要单说这么大的石头，还有的情况是：非常小，小的像一个小米粒那么大，然后跟我“恩恩恩”，以手做比划，我这么比划了半天，尤其是远的同学，你也没看明白什么意思，是吧？我在这里边，说，有一种黄色的米，你啥也看不到，就是说，太小了你看不出来，超过你双臂能比划的范围你也看不出来。在这个时候，人类就想，我怎么描述它呢？于是有一天，终于想出来，用长和宽的关系来描述面积，用长宽高的关系来描述体积。所以大家想，这个世界，我们今天所描述的东西，都不是凭空而来的。

(14)、数概念产生之后，原始记数法便随之出现了．《易经》上说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契．”三国时吴人虞翮在《易九家义》中也说：“事大，大结其绳；事小，小结其绳，结之多少，随物众寡．”这些记载表明，结绳记数是原始社会普遍使用的一种记数方法．刻划记数是比结绳记数进步的一种记数法，也产生于原始社会．人们在竹、木或骨片上面刻出一个个小口，表示一定的数目，这大概就是《易经》所说的契．例如1975年在青海乐都出土的原始社会末期遗物中，有40件带有三角形小口的骨片(图3)，这些小口便是用来记数的．

(15)、数学(汉语拼音：shùxué；希腊语：μαθηματικ；英语：Mathematics)，源自于古希腊语的μθημα(máthēma)，其有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”。另外，还有个较狭隘且技术性的意义——“数学研究”。即使在其语源内，其形容词意义凡与学习有关的，亦会被用来指数学的。

(16)、我决心放弃那个仅仅是抽象的几何。这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练思想的问题．我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何。——笛卡儿(ReneDescartes，1596~1650)

(17)、那时候，人们过着群居穴处的生活。晚上，他们挤在深而黑的洞窟里或者藏在茂密的林木中；白天，他们成群结队地在荒野里寻找猎物或者采集能够充饥的野果，过着饥一顿、饱一顿的生活。“饥寒交迫”大概是他们最切身的体验。

(18)、而进一步的发展，问题又出来了。数字太大了也没法刻，几百上千的，恐怕把所有动物骨头拿来都不够刻，费财又费力，那么自然就想到用一些简化后的记号来表示大一点的数。这就牵扯到进制的问题了，因为这样可以减少符号数，由于人有十根手指和十根脚趾头的缘故，十进制最终成为主流。但其间也出现过五进制、二进制、六十进制等不同的进制法，后来由于语言等方面的原因，十进制最终打败其他进制。不过也没有完全消除，比如六十进制在角度时间方面的继续存在。至于其中的详细过程，也许我们只能猜测，本人才疏学浅，这本书也无多大介绍。

(19)、另外一个不容忽视的起源是——人类的好奇。也许看见太阳月亮那么圆，就想研究圆这种图形等，这种来自几何图形上所独有的美感，刺激了早期的人类，学夫子一直相信，好奇心是人类前进的主要动力。

(20)、数4……我把它排成顺序，只要记其中一个就行，根本不必要重复。比如说，打死了八只狍子，我只要能说出“8”，大家就能明白什么意思。这就是最开始产生“数”。

(1)、丹顶鹤迁徙总是成群结队，而且排成“人”字形。这“人”字形的角度永远是110°左右，如果计算更精确些，“人”字夹角的一半，即每边与丹顶鹤群前进方向的夹角为54°44′08″。按照这个队形，使得队伍中的丹顶鹤最省力。

(2)、因为它是从大自然中来，自然产生的。有了数量需求，就想着表示。从最开始，不同的人有不同的发展，因为他是自然发生的。我们最开始就产生自然数，利用这个东西来计量。我们想想人类最开始有数学需求的时候，那个时候又没有这些数字，于是那个时候只能弄一个小绳。比如说，我打死一只狍子，我在这个小绳上系个扣，我打死第二只再系第二个扣……等回来之后酋长问我：你今天战果如何啊？我把那个小绳往外一掏，给你看这么多个扣。问我战果怎么样？你看有多少个小疙瘩，那么战果就有多少。所以那个时候人类生活是很不方便的，只能通过那些小疙瘩来计数。而后来，发明了数，虽然这事对我们今天来讲是很简单一件事，在那个时候来讲它极不简单。

(3)、无论如何，“算术”这个名称在汉代已经通行了，正式使用是在《九章算术》一书中。在宋、元两代，我国数学发展居世界前列。那时“算学”和“数学”这两个词是并用的。

(4)、印度的学者又引出了作为零的符号。可以这么说，这些符号和表示方法是今天阿拉伯数字的老祖先了。

(5)、简单几何图形的出现，是数学起源的另一标志．半坡出土的陶器上，有圆、三角形、长方形、菱形等各种几何图形．圆柱形陶纺轮的烧制，表明人们有了圆柱的观念；而造型精致的空心陶球，则说明人们已掌握一些关于球的知识．这些都是萌芽状态中的几何．我们从某些陶器的图案中，可以推测菱形产生的有趣过程，它体现了由具体到抽象的认识规律(图2)．

(6)、那是在古代，“算”字有三种写法：筹、等、算(祘)。从字形的结构，就可以看到事物演变的一些痕迹。汉代许慎的《说文解字》对这几个字作如下解释：“等”，“长六寸，计历数者”。“算，数也，从竹从具，读若。”

(7)、——著名科学史家、中国科学院自然科学史研究所

(8)、菲力斯顿的这个看法可追溯到1970年代，当时控制论提出一项原则：为了提供有效的控制，一个机器人必须先对自己与环境的作用，建立一个数学模型，才能据此行动。此后的人工智能研究，差不多都遵循了这条原则。今天，人类能在人工智能领域取得这么大的成就，也要归功于这条原则。

(9)、《数学的故事》沿着历史上重大数学发现的脉络，紧密结合有关数学知识，通过立学化的语言描写，向读者讲述了一系列富有知识性和趣味性的数学故事。我们从中不难体会，数学的发展是人类智力进化的一个重要标志。

(10)、后来，随着在世界各地的普遍传播，大家都都认同了“阿拉伯数字”这个说法，使世界上很多地方的人都误认为是阿拉伯人发明的数字，实际上是阿拉伯人最早开始广泛使用数字。

(11)、(1)“平，同高也”---两线间高相等，叫平．这实际是平行线的定义．

(12)、《周髀算经》中记载着商高的“用矩之道”：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方．”头一句是说用矩的一边测量一线是否直线，第六句是用矩画圆、画方的方法．第四句是相似直角三角形的应用：把矩的一边垂直向上去测量高度，把矩的一边垂直向下测量深度，把矩平放去测量地面上两点间距离．下面以第二句为例说明测量方法：设AB为矩的一边，BC是矩的另一边由顶点到视线的一段，AD为图8所示之可测距离，DE

(13)、已知最古老的数学工具是发现于斯威士兰列朋波山的列朋波骨，大约是公元前35,000年的遗物。它是一支狒狒的腓骨，上面被刻意切割出29个不同的缺口，使用计数妇女及跟踪妇女的月经周期。相似的史前遗物也在非洲和法国出土，大约有35,000至20,000年之久，都与量化时间有关。

(14)、以心理学上反映心理量和物理量之间关系的韦伯-费希纳定律为例。这条定律说：我们辨别两个感觉差别的能力，随感觉强度的增加而减弱。比如用手提重物，你很容易区分1千克和2千克，但要辨别21千克和22千克，就不那么容易了。对于亮度、音量等的辨别能力也同样如此。

(15)、本文取名《数学的起源》，这个名字范围太广了。“数学的起源”问题，有点类似于“人类文化的起源”、“语言的起源”一般大而空泛。因为一说到起源一词，大多已经非常久远，而时代久远的一个重要标志便是传说甚至神话开始流行，传说可以美化事实，也可以让事实变得模糊。

(16)、就在腓尼基文化逐渐衰落之际，地中海沿岸的西西里、克里特、塞浦路斯和古希腊开始崛起。大约在公元前400年，古希腊地理学家画的航海图上已经标示出了地中海的海岸线。腓尼基为古希腊的强盛输送了营养，比如说，古希腊文字来源于腓尼基，航海知识就更不用说了。

(17)、商代数学中，十进制已相当完善了，这是中国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义．著名的英国科学史家李约瑟(J．Needham，1900---1995)说：“如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了．”

(18)、基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展。但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态。

(19)、这些发现表明，动物确实有一种接近“数觉”的本能。换句话说，这种本能为人类和许多其他动物共同拥有。

(20)、  它藏在南飞的雁群中，也可能就在抽屉里那一堆隔汗巾里……

(1)、加减乘除运算关系，都是小学最基本的东西。问题的根本在于是否知道它的来龙去脉，就是它到底是怎么来的，到底是什么意思。

(2)、如果我们接受后一种观点，那么，我们后来能产生精确的数量感，发明出数来精确地表示量，只能说是文明的产物了。

(3)、但事情也许没那么简单：当问及“数学是被发明的还是被发现的？”的时候，人们往往有一种先入为主的前提，好像两者是相互排斥的。如果你发明了它，你就不会是发现了它，如此等等。但这不是一个非此即彼的命题。

(4)、公元前4千年左右，在底格里斯-幼发拉底河谷(现在伊拉克的一个地区)，出现了美索不达米亚文明。在这种文明中，计数和测量达到了新的高度。这同样跟文明的发展需要分不开。美索不达米亚人需要记录天文历法，丈量土地面积，衡量谷物收成，甚至记录重量。然后随着人类走向海洋，或者研究天空，我们开始发展导航和天文观测所需要的数学。甚至到了现代，商业的需要也仍在推动数学的发展。譬如，一些最复杂的数学正是为华尔街的股票和债券交易而开发的。

(5)、《周髀》是西汉初期的一部天文、数学著作．髀是量日影的标杆(亦称表)，因书中记载了不少周代的天文知识，故名《周髀》．唐初凤选定数学课本时，取名《周髀算经》．

(6)、从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做税务和贸易等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。